下面是小编为大家整理的5.5啊发发,供大家参考。
5. 5 啊发发
§ 5 5 二次型及其标准形
在解析几何中 为了便于研究二次曲线
ax2 bxy cy2 1
的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换
x x cos y sin y x sin y cos
把方程化为标准形
m x 2 n y 2 1
ax2 bxy cy2 是一个二次多项式 从代数学的观点看 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项 这样一个问题 在许多理论问题或实际问题中常会遇到 现在我们把这类问题一般化 讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化简问题
定义 8 含有 n 个变量 x1 x2 xn 的二次齐次函数
f(x1 x2 xn) a11x12 a22x22 annxn2
2a12x1x2 2a13x1x3 2an 1 nxn 1xn
称为二次型
令 aij aji 则 2aijxixj aijxixj ajixjxi 于是
f(x1 x2 xn) a11x12 a12x1x2 a1nx1xn
a21x2x1 a22x22 a2nx2xn
an1xnx1 an2xnx2 annxn2
x1(a11x1 a12x2 a1nxn)
x2(a21x1 a22x2 a2nxn)
xn(an1x1 an2x2 annxn)
a11x1 a12x2 a1nxn ax ax ax 2nn (x1,
x2,
, xn) 211222
an1x1 an2x2 annxn
a11 a (x1,
x2,
, xn) 21
an1a12a22 an2 a1n x1 a2n x2 ann xn aijxixj
i 1j 1nn
对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 x Cy
x1 c11y1 c12y2 c1nyn x2 c21y1 c22y2 c2nyn
x cy cy cynnn nn11n22
使二次型只含平方项
f k1y12 k2y22 knyn2
这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)
如果标准形的系数 k1 k2 kn 只在 1 1 0 三个数中取值 也就是
f y12 y22 yp2 yp 12 yn2
这种标准形称为二次型的规范形
当 aij 为复数时 f 称为复二次型 当 aij 为实数时 f 称为实二次型 这里 我们仅讨论实二次型 所求的线性变换 x Cy 也限于实系数范围
二次型又可表示为矩阵形式
a11 a f (x1,
x2,
,
xn) 21
an1
a11 a 其中 A 21
an1a12a22 an2 a12a22 an2 a1n x1 a2n x2 xTAx ann xn a1n x1 x a2n 是一个对称阵 x 2 ann xn
任给一个二次型 就唯一地确定一个对称阵 反之 任给一个对称阵 也可唯一地确定一个二次型 这样 二次型与对称阵之间存在一一对应的关系 因此 我们把对称阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 也把 f 叫做对称阵 A 的二次型 对称阵的秩就叫做二次型f 的秩
二次型 f xTAx 在线性变换 x Cy 下 有 f xTAx (Cy) TA(Cy) yT(CTAC) y
定义 9 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 若有可逆矩阵 C 使 B CTAC 则称矩阵 A 与 B 合同
显然 若 A 为对称阵 则 B CTAC 也为对称阵 且 R(B) R(A) 事实上
BT (CTAC) T CTATC CTAC B
即 B 为对称阵 又因为 B CTAC 而 C 可逆 从而 CT 也可逆 由矩阵秩的性质即知R(B) R(A)
由此可知 经可逆变换 x Cy 后 二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC 且二次型的秩不变
要使二次型 f 经可逆变换 x Cy 变成标准形 这就是要使
yT(CTAC) y k1y12 k2y22 knyn2
k1 y1 k y 2 (y1,
y2,
, yn) 2 kn yn
也就是要使 CTAC 成为对角阵 因此 我们的主要问题就是 对于对称阵 A 寻求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角阵
由上节定理 7 知 任给对称阵 A 总有正交阵 P 使 P 1AP 即 PTAP 把此结论应用于二次型 即有
定理 8 任给二次型 f xTAx 总有正交变换 x Py 使 f 化为标准形
f k1y12 k2y22 knyn2
其中 1 2 n 是 f 的矩阵 A 的特征值
推论 任给 n 元二次型 f xTAx 总有可逆变换 x Cz 使 f(Cy) 为规范形 证 按定理 8 有
f(Py) yT y 1y12 2y22 nyn2
设二次型 f 的秩为 r 则特征值 i 中恰有 r 个不为 0 不妨设 1 2 r 不等于 0 r 1 n 0 令 k1 1 i r k 2 K 其中 ki i|
1 i r kn
则 K 可逆 变换 y Kz 把 f(Py) 化为
f(PKz) zTKTPTA PKz zTKT Kz
而 KT K dia( ,
0 0) | 1| | r|
记 C PK 即知可逆变换 x Cz 把 f 化成规范二次形
f(Cz) 2 2 2z1 z2 zr | 1| | 2| | r|
例 14 求一个正交变换 x Py 把二次型
f(x1 x2 x3 x4) 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4
化为标准形
解 二次型的矩阵为
0 A 11 1
它的特征多项式为 10 111 101 1 1 1 0
| A E| 11 11 111 1 1 11 ( 3) ( 1) 3 1
于是 A 的特征值为 1 3 2 3 4 1
对于 1 3 解方程(A 3E)x 0 得基础解系 1 (1 1 1 1) T 单位化即得 p1 1(1,
1,
1,
1) T 2
对于 2 3 4 1 解方程(A E) x 0 得正交的基础解系
2 (1 1 0 0) T 3 (0 0 1 1) T 4 (1 1 1 1) T
单位化即得
p2 1(1,
1,
0,
0) T p3 1(0,
0,
1,
1) T p4 1(1,
1,
1,
1) T 2 于是正交变换为 x (p1 p2 p3 p4) y 即
1101 22 1 x1 11 y1 0 x y 222 2 x111 y3 3 02 y4 x4 2 11 1 20 2
且有 f 3y12 y22 y32 y42 如果要把二次型 f 化为规范形 只需令
y 1z 11 y2 2
y3 z3 y4 z4
即得 f 的规范形
f z12 z22 z32 z42
3 提示 (A 3E) 11 1
1 (A E) 11 1 1 1 1113 111 131 1 1r 1 ~0 10 3 0 1 ~ 00 0 r01000010 1 1 1 0 1 0 0 0 解方程(A E) x 0 由 1 1 11 1 1 1
1 1000 1000
得 x1 x2 x3 x4 其中 x2 x3 x4 是自由末知数
YJuf0VGrc)SDo9&PA k5#Lwh2XIte+UFqb(RCn8%Oz k5#Lwh2XIte+ UFqb(RCn8%Ozk5#Lwh2XIte+ UFqb(R Cn8%Oz k5#Lwh2XIte+UFqb(RCn8%Oz k5#Lwg 1WHsd- TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg1WHsd- TEpa*QBm7$Ny j4ZKvg1WHsd-TEpa*QBm7$Ny j4ZKv g1WHsd- TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg1WHsc) SDo9& PAl6!Mx i3YJuf0VGrc) SDo9&PAl6!Mx i3YJu f0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9& PAl6! Mx i3YJuf0VGrc) SDo8%Ozk5#Lw h2XIte+UFqb( RCn8%Ozk5#Lwh2XIte+UFqb( RCn8% Ozk5#Lw h2XIte+UFqb(RCn8%Ozk5#Lw h2XIte+UFqb( RCn8%Ozk4ZKvg1WHsd-TEpa* QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TEpa* QBm7$N yj4ZKvg1WHsd-TEpa *QBm7$Nyj4ZK vg0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3YJ uf0VGr c) SDo9 &PAl6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9 &PAl6!M xi3YJ uf0VGrc) SDo9 &PAl6!Mxi3YJ uf0VGrc(RCn8 %Ozk5#Lwh2XI te+UFqb(RCn8 %Ozk5#L wh2XI te+UFqb(RCn8 % Ozk5#Lwh2XI te+UFqb(RCn8 %Ozk5#Lwh2XIte+UFqb(RCn8 $Nyj4Z Kvg1WH sd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg1WH sd-TEp a*QBm7 $Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa*QBm7 $Nyj4ZK vg1WH sd-TEpa*QBm7$Nyj4YJuf0VG rc) SDo9&PAl6 !Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&PAl6 ! Mxi3YJ uf0VG rc) SDo9&PAl6!Mxi3YJuf0VG rc) SDo9&PAl6 !Mxi3YJuf0UFqb(RCn8%Ozk5 #Lwh2XIte+UF qb(RCn8%Ozk5#Lwh2XIte+UF qb(RCn8%Ozk5#Lwh2XIte+U F qb(RCn8%Ozk 5#Lwh2XIte+U Fqb(QBm7$Nyj 4 ZKvg1WHsd-T Epa*QBm7$Nyj 4ZKvg1WHsd-T E pa*QBm7$Nyj 4ZKvg1W Hsd-T Epa*QBm7$Nyj 4ZKvg1WHsd-T Epa*QBm7$Mxi 3YJuf0VGrc) S Do 9&PAl6!Mxi 3YJuf0VG rc) S Do9&PAl6!Mxi 3Y Juf0VGrc) S Do9&PAl6! Mxi 3YJuf0VGrc) S Do 9&PAl6!Mxi 3YIte+UFqb(R Cn8%Ozk5#Lwh 2XIte+UFqb(R Cn8%Ozk5#Lwh 2XIte+UFqb(R C n8%Ozk5#Lwh 2XIte+U Fqb(R Cn8%Ozk5#Lwh 2XIte+UEpa*Q Bm7$Nyj4ZKvg 1WHsd-TEpa*Q Bm 7$Nyj4ZKvg 1WHsd-T Epa*Q Bm7$Nyj4ZKvg 1WHsd-TEpa*Q Bm7$Nyj4ZKvg 1WHsd-TEpa*Q Al6!Mxi3YJuf 0VGrc) SD o9&P Al6!Mxi3YJuf 0V Grc) SDo9&PAl6!Mxi3YJu f0VGrc) SDo9& PAl6!Mxi3YJu f0VGrc) SD o9& PAl6!Mwh2XIt e+UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh 2XIt e+UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh2XIt e+UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh2XIt e+ UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh 2XHs d-TEpa*QBm7$ Ny j4ZKvg1WHs d-TEpa*QB m7$ Nyj4ZKvg1WHs d- TEpa*QBm7$ Nyj4ZKvg 1WHs d-TEpa*QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TDo9&PAl6!Mxi3YJu f0VGrc) SDo9i 3YJuf0VGrc) SDo9&PAl6! Mxi 3YJuf 0VGrc) S Do9&PAl6#Lwh2XIte+UFqb(R Cn8%O zk5#Lwh 2XIte+UFqb(RCn8%Ozk5#Lwh 2XIte+UFqb(R Cn8%Ozk5#Lwh2XIte+UFqb(R Cn8%Ozk5#Lwh 2WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg 1WHsd -TEpa*Q Bm7$Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa*Q Bm7$N yj4ZKvg 1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg 1WHsd -SDo9&P Al6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&P Al6!Mx i3YJuf 0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3YJuf 0VGrc)SDo9&P Al6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&O zk5#L wh2XIte +UFqb(RCn8% O zk5#Lwh2XIte +UFqb(RCn8%O zk5#Lwh2XIte +UFqb(RCn8%O zk5#L wh2XIte +UFqb( RCn8%Ozk5#Kvg1WHs d-TEpa* QBm7$ Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa*QBm7$ Nyj4ZKv g1WHs d-TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg1WHs d-TEpa* QBm7$ Nyj4ZKvg1WGrc) SDo9&PAl6! Mxi3YJuf0VGr c) SDo9&PAl6!Mxi3YJuf0VGr c) SDo9& PAl6! Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&PAl6! Mxi3YJ uf0VGr c) SCn8%Ozk5#Lwh2XIte+UFq b(RCn8%Ozk5# Lwh2XIte+UFqb(RCn8%Ozk5# Lwh2XIte+UFq b(RCn8%Ozk5#Lwh2XIte+UFq b(RCn8% Oyj4Z Kvg1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4Z Kvg1WH sd-TEp a*QBm7$Nyj4ZKvg1WHsd-TEp a*QBm7$Nyj4Z Kvg1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4Z Kuf0VG rc) SDo 9&PAl6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo 9&PAl6! Mxi3Y Juf0VGrc) SDo9&PAl6! Mxi3Y Juf0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3 Y Juf0VFqb(RC n8%Ozk5#Lwh2 XIte+UFqb(RC n 8%Ozk5#Lwh2 XIte+UF qb(RC n8%Ozk5#Lwh2 X Ite+UFqb(RC n8%Ozk5#Lwh2 XIte+UFqb(RB m7$Nyj4ZKvg1 WHsd-TEpa*QB m7$Nyj4ZKvg1 W Hsd-TEpa*QB m7$Nyj4Z Kvg1 WHsd-TEpa*QB m 7$Nyj4ZKvg1 WHsd-TE pa*QB m7$Nxi3YJuf0 V Grc) SDo9&PA l6!Mxi3YJuf0 VGrc) SDo9&PA l6!Mxi3YJuf0 VGrc) SDo9&PA l6!Mxi3YJuf0 V Grc) SDo9&PA l6! Mxi3YJte+ UFqb(RCn8%Oz k 5#Lwh2XIte+ UFqb(RC n8%Oz k5#Lwh2XIte+ U Fqb(RCn8%Oz k5#Lwh2XIte+ UFqb(RCn8%Oz k 5#Lwh2XIte+ UFpa*QB m7$Ny j4ZKvg1WHsd- TEpa*QBm7$Ny j4ZKvg1WHsd- TEpa*QBm7$Ny j4ZKvg 1WHsd-TEpa*QB m7$N yj4ZKvg1WHsd -T Epa*QBl6! M xi3YJuf0VGrc ) SDo9&PAl6!M xi3YJuf0VGrc ) SDo9&PA l6!M xi3YJuf0VGrc ) SDo9&PAl6!M xi3YJuf0VGrc ) SDo9&PAl6!M xh 2XIte+UFqb (RCn8%Ozk5#L wh2XIte+UFqb (R Cn8%Ozk5#L wh2XIte+ UFqb (RCn8%Ozk5#L wh 2XIte+UFqb (RCn8%Ozk5#L wh2XItd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TEpa* QBm7$Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa* QBm7$Nyj4ZKv g1WHsd-TEp9&PAl6! Mxi3YJu f0VGr c) SDo9& PAl6! Mxi3YJuf0VGrc) SDo9& PAl6!Mxi3YJu f0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3YJu f0VGr c) SDo9& PAl5#Lwh2XIte+UFqb(RCn8% Ozk5#L wh2XIt e+UFqb(RCn8%Ozk5#Lwh2XIt e+UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh2XIte+UFqb(RCKvg 1WHsd -TEpa*Q Bm7$Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa*Q Bm7$N yj4ZKvg 1WHsd-TEpa*QBm7$Nyj4ZKvg 1WHsd -TDo9&P Al6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&P Al6! Mx i3YJuf 0VGrc) SDo9&PAl6!Mxi3YJuf 0VGrc)SDo9&P Al6!Mxi3YJuf0VGrc) SDo9&P zk5#Lwh2XIte +UFqb( RCn8%Ozk5#Lwh2XIt e+UFqb(RCn8% Ozk5#Lwh2XIte+UFqb(RCn8% Ozk5#L wh2XIt e+UFqb(RCn8%Ozk5#Lvg1WHs d-TEpa* QBm7$ Nyj4ZKvg1WHsd-TEpa*QBm7$ Nyj4ZKv...
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