5.4,三角函数图象与性质(精讲)(解析版)

时间:2022-06-07 11:30:02 来源:网友投稿

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5.4,三角函数图象与性质(精讲)(解析版)

 

 5.4 三角函数的图象与性质(精讲)

 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象

 定义域 R R x  x∈R,且x≠kπ+π2 ,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 - π2 +2kπ,π2 +2kπ (k∈Z)上是递增函数,π2 +2kπ,3π2+2kπ (k∈Z)上是递减函数 [2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是递增函数, [2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是递减函数 在 - π2 +kπ,π2 +kπ (k∈Z)上是递增函数

  周期性 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0),最小正周期是 2π 周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0),最小正周期是 2π 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0),最小正周期是 π 对称性 对称轴是 x= π2 +kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z) 对称轴是 x=kπ(k∈Z),对称中心是 kπ+ π2 ,0 (k∈Z) 对称中心是 kπ2,0 (k∈Z)

 思维导图

 考法一

 五点画图

 【例 1 1 】(2021·上海高一课时练习)用五点法作下列函数的图象:

 (1)sin , [ , ] y x x     ;

  (2)1cos , [0,2 ]2y x x     . 【答案】(1)图象见解析;(2)图象见解析. 【解析】(1)列表:

 x  

 2

  0 2

 

  y =sin x 0 -1 0 1 0 描点,连线,画图如下:

 常见考法

  (2)列表:

 x 0 2

 

  32

 2 

  y= cos x 1 0 -1 0 1 1cos2y x  

  32

 12

 12

  12

 32 描点,连线,画图如下:

  【一隅三反】

 1.(2021·上海高一专题练习)利用“五点法”作出函数1 cos y x  ,   0,2 x   的图象. 【答案】答案见解析 【解析】先找出五个关键点,列表如下:

 x

 0 2 

 32 2 

 1 cos y x   0 1 2 1 0 描点作出函数图象如下:

  2.(2021·全国高一课时练习)当   2 ,2 x     时,作出下列函数的图象,把这些图象与sin y x 的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律? (1)sin y x  ; (2)

 sin y x  ; (3)

 sin y x  . 【答案】答案见解析 【解析】(1)该图象与sin y x 的图象关于 x 轴对称,故将sin y x 的图象作关于 x 轴对称的图象即可得到sin y x  的图象.

 (2)sin , 2 ,0 ,sinsin , 0, 2 ,x x xy xx x x         剟 剟剟 剟将sin y x 的图象在 x 轴上方部分保持不变,下半部分作关于 x 轴对称的图形,即可得到 sin y x  的图象.

  (3)sin , 0,sinsin , 0,x xy xx x   …将sin y x 的图象在 y 轴右边部分保持不变,并将其作关于 y 轴对称的图形,即可得到 sin y x  的图象.

 考法二

 解三角不等式

 【例 2 2 】(1)(2021·全国高一课时练习)不等式2sin , (0,2 )2x x   … 的解集为(

 )

 A.,6 2      B.3,4 4      C.4 23,      D.,6 4      (2).(2021·陕西省洛南中学高一月考)在   0,2 x   上,满足 cos sin x x  的 x 的取值范围(

 )

 A.5,4 4      B. 0,4     C.50, ,24 4           D.5,24    (3)(2021·北京景山学校远洋分校高一期中)若 tan 0 x ,则(

 )

 A.π2 π 2 π2k x k    , kZ

 B.π2 π (2 1)π2k x k     , kZ

 C.ππ π2k x k    , kZ

 D.ππ π2k x k    , kZ

  【答案】(1)B(2)C(3)C

 【解析】(1)2sin , (0,2 )2x x   …sin y x 函数图象如下所示:

 34 4   x ,  不等式的解集为:3,4 4     .故选:

 B . (2)作出sin y x 和cos y x 在   0,2 x   的函数图象, 根据函数图象可得满足 cos sin x x  的 x 的取值范围为50, ,24 4          . 故选:C.

 (3)在,2 2     上, tan 0 x 02x   ,因此在 R 上, tan 0 x 的解是ππ π2k x k    , kZ . 故选:C.

 【一隅三反】

 1.(2021·江西新余·(文))已知( ) f x 的定义域是31,2   ,则(sin2 ) f x 的定义域为(

 )

 A.2,3 6k k       , k Z 

 B.,6 3k k      , k Z 

 C.22 , 23 6k k       , k Z 

 D.2 , 26 3k k      , k Z 

 【答案】A

 【解析】( ) f x 的定义域是31,2   ,故由31 sin22x    可得, 解得  42 2 23 3k x k k Z         ,  23 6k x k k Z        

 因此,函数(sin2 ) f x 的定义域为  22 , 23 6k k k Z        . 故选:A. 2.(2021·银川三沙源上游学校高一月考(理))函数 2cos 1 y x   的定义域是(

 )

 A. 2,2 ( Z)3 3k k k        B. 2,2 ( Z)6 6k k k        C.22 ,2 ( Z)3 3k k k        D.2 22 ,2 ( Z)3 3k k k        【答案】D 【解析】由 2cos 1 0 x  ,得1cos2x  … , 解得2 22 2 , Z3 3k x k k      剟 . 所以函数的定义域是2 22 ,2 ( Z)3 3k k k       . 故选:D. 3 3.(2021·全国高一课时练习)函数  lg 2 2cos y x  的定义域是________. 【答案】π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k        【解析】由 2 2cos 0 x   得2cos2x  , 作出cos y x 的图象和直线22y  ,

 由图象可知2cos2x  的解集为π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k       , 故答案为:π 7π| 2 π 2 π, Z4 4x k x k k       .

 4 4.(2021·上海高一专题练习)利用图象,不等式 3 tan2 1 x    的解集为____________. 【答案】

 ( , ],2 6 2 8k kk Z     

 【解析】tan2 y x 函数图象如下所示:

  令 tan2 1 x ,则 2 ,4x k k Z    ,解得 ,8 2kx k Z    ; 令 tan2 3 x   ,则 2 ,3x k k Z     ,解得 ,6 2kx k Z     , 因为 3 tan2 1 x    ,所以 ,6 2 8 2k kx k Z         ,即原不等式的解集为 , ,6 2 8 2k kk Z         , 故答案为:, ,6 2 8 2k kk Z         .

  考法三

 周期

 【例 3 3 】(1)(2021·济源市第五中学)下列函数中,最小正周期为 π 的是(

 )

 A. y =sin x

 B. y =cos x

 C. y =tan x

 D. y =sin2x (2).(2021·江西景德镇一中高一期中(文))下列函数中① sin y x  ;② sin y x  ;③ tan y x  ;④1 2cos y x   ,其中是偶函数,且最小正周期为  的函数的个数为(

 )

 A. 1

 B. 2

 C. 3

 D. 4

 【答案】(1)C(2)B 【解析】(1)函数 y =sin x , y =cos x 的最小正周期均为 2  ,A,B 都不正确; 函数 y =tan x 的最小正周期为  ,C 正确; 函数 y =sin2x的最小正周期为2412 ,D 不正确. 故选:C

 (2)①的图象如下,根据图象可知,图象关于 y 轴对称, sin y x  是偶函数, 但不是周期函数,  排除①;

 ②的图象如下,根据图象可知,图象关于 y 轴对称, sin y x  是偶函数, 最小正周期是  ,  ②正确;

 ③的图象如下,根据图象可知,图象关于 y 轴对称, tan y x  是偶函数, 最小正周期为  ,  ③正确;

 ④的图象如下,根据图象可知,图象关于 y 轴对称, 1 2cos y x   是偶函数,最小正周期为 2  ,  排除④.

 故选:B.

 【一隅三反】

 1.(2021·原阳县第三高级中学)下列函数中,最小正周期为  的是(

 )

 A.1sin2 6y x      B.cos 23y x      C.tan 24y x      D. sin2xy

 【答案】B 【解析】对于 A,最小正周期2412T  ,故错误; 对于 B,最小正周期22T   ,故正确; 对于 C,最小正周期2T ,故错误; 对于 D,最小正周期2=42T,故错误. 故选:B 2.(2021·北京北师大实验中学高一期中)在函数①cos|2 | y x ,②|cos | y x  ,③πcos 26y x    ,④πtan 24y x    中,最小正周期为 π

 的所有函数为(

 )

 A.②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④ 【答案】C 【解析】∵cos|2 | y x = cos2x ,∴ T =22=  ; |cos | y x 图象是将 y = cosx 在 x 轴下方的图象对称翻折到 x 轴上方得到, 所以周期为  ,由周期公式知, cos(2 )6y x  为  , tan(2 )4y x  为2,故选:

 C . 3.(2021·上海市进才中学高一期中)已知函数  4tan , 05y x        的最小正周期为2,则   _____. 【答案】

 2 

 【解析】因为函数  4tan , 05y x        的最小正周期为2,所以=| | 2 ,所以 2   .故答案为:

 2 

 4.(2021·全国)若函数sin3 3ky x     的周期不大于 1,则正整数 k 的最小值为___________. 【答案】19

 【解析】因为函数sin3 3ky x     的周期不大于 1,所以213Tk ,解得 6 k   , 所以正整数 k 的最小值为 19,故答案为:19

 考法四

 奇偶性

 【例 4 4 】(1)(2021·上海浦东新·)下列函数中,最小正周期为  的奇函数是(

 )

 A.cos 22y x      B.sin 22y x      C.sin 24y x      D.   cos 2 y x   

 (2).(2021·全国高一课时练习)已知函数( ) 2sin4f x x     是奇函数,当,2 2     时  的值为(

 )

 A.38 

 B.4

 C.4 D.38 【答案】(1)A(2)B 【解析】(1)四个函数的最小正周期都是  , cos(2 ) sin22y x x    是奇函数, sin(2 ) cos22y x x   是偶函数, sin(2 )4y x  , 0 x  时,2sin4 2y  ,函数图象不过原点,也不关于 y 轴对称,既不是奇函数也不是偶函数,cos(2 ) cos2 y x x     是偶函数.故选:A. (2 2 )函数( ) 2sin4f x x     是奇函数,故   ,4 4k k k Z           ,对照选项只有 k

 =0 时,选项 B 符合题意故选:B

 【一隅三反】

 1 1.(2021·上海市实验学校高一期中)函数sin y x (

 )

 A.是奇函数,也是周期函数; B.是奇函数,不是周期函数; C.是偶函数,也是周期函数; D.是偶函数,不是周期函数. 【答案】D 【解析】函数的定义域为 R ,

 因为 ( ) sin sin ( ) f x x x f x      ,所以函数为偶函数, 因为sin y x 的图象将sin y x 的图象在 y 轴左边的去掉, y 轴右边的关于 y 对称后与 y 轴右边的共同组成的图象,如图所示,不具有周期性,故选:D

 2.(2021·广东)(多选)下列函数中最小正周期为 π ,且为偶函数的是(

 )

 A. cos y x 

 B.sin2 y x  C.πsin 22y x     D.1cos2y x 

 【答案】AC 【解析】对于 A,定义域为 R ,因为 ( ) cos( ) cos ( ) f x x x f x      ,所以函数为偶函数,因为 cos y x  的图象是由cos y x 的图象在 x 轴下方的关于 x 轴对称后与 x 轴上方的图象共同组成,所以 cos y x  的最小正周期为 π ,所以 A 正确,

 对于 B,定义域为 R ,因为( ) sin( 2 ) sin2 ( ) f x x x f x       ,所以函数为奇函数,所以 B 错误, 对于 C,定义域为 R ,π( ) sin 2 cos22f x x x     ,最小正周期为 π ,因为( ) cos( 2 ) cos2 ( ) f x x x f x     ,所以函数为偶函数,所以 C 正确,对于 D,定义域为 R ,最小正周期为2412 ,所以 D 错误,故选:AC 3.(2021·长宁·上海市延安中学高一期中)已知函数sin( ) y x   是偶函数,若2     ,则   _________ 【答案】32 【解析】因为函数sin( ) y x   是偶函数,2k     , k Z 

 又2     ,32  

 故答案为:32 4.(2021·辽宁丹东·高一期末)写出一个最小正周期为 1 的偶函数   f x  ______.

 【答案】

 cos2πx

 【解析】因为函数cos y x  的周期为2π| | ,所以函数cos2π y x 的周期为 1. 故答案为:

 cos2πx .(答案不唯一)

 考法五

 单调性 【例 5 5 】(1)(2021·全国高一课时练习)函数2sin( 2 ) y x   的单调增区间是_________. (2).(2021·长宁·上海市延安中学高一期中)函数2sin 2 , [ ,0]6y x x      单调减区间为_________ (3)(2021·上海杨浦·复旦附中高一期中)函数( ) cos 23f x x     的单调递增区间为_________ (4)(2021·上海市长征中学)若3cos ( 0)2 4y x      在 0,2    上为严格减函数,则  的最大取值为_______ 【答案】(1)3, ,4 4k k k       Z (2)5,6 3      (3), ,3 6k k k        Z (4)32 【解析】(1)函数2sin( 2 ) 2sin2 y x x     ,令32 2 2 ,2 2k x k k     Z 剟 , 解得3,4 4k x k k     Z 剟 .故答案为:3, ,4 4k k k       Z

 (2)正弦函数sin y u 的单调递减区间为  32 , 22 2k k k Z       , 由  32 2 22 6 2k x k k Z          ,得  26 3k x k k Z        , 记  2,6 3A k k k Z        ,则  5,0 ,6 3A       I,故答案为:5,6 3      . (3)( ) cos 2 cos 23 3f x x x              ,所以 2 2 2 ,3k x k k Z        , 解得 ,3 6k x k k Z         ,所以单调递增区间为 , ,3 6k k k        Z

 故答案为:, ,3 6k k k        Z

 (4)0,2x    ,,4 4 2 4x           , 函数在区间 0,2    上为严格减函数,2 4       ,且 0   ,302    , 所以  的最大取值为32.故答案为:32

 【一隅三反】

 1.(2021·六盘山高级中学)函数tan 23y x      的单调增区间为(

 )

 A.5, ( )2 12 2 12k kk Z          B.5, ( )2 12 2 12k kk Z          C.5, ( )12 12k k k Z        D.5, ( )12 12k k k Z        【答案】B 【解析】因为函数tan y x 的单调递增区间为, ( )2 2k k k Z       , 所以 2 ( )2 2 3, k k k x Z          ,解得5,( )2 12 2 12k kx k Z        , 所以函数tan 23y x      的单调增区间为5, ( )2 12 2 12k kk Z         .故选:B 2.(2021·北京海淀·)下列函数中,周期为 π 且在区间2   ,上单调递增的是(

 )

 A.cos2 y x  B.sin2 y x  C.1cos2y x 

 D.1sin2y x 

 【答案】A 【解析】A,cos2 y x ,2T , 由余弦函数的单调递增区间可得 22 2 , k x k k Z       , 解得 ,2k x k k Z      ,当 1 k  时,2x   ,故 A 正确; B,sin2 y x ,2T , 由余弦函数的单调递增区间可得 2 2 2 ,2 2k x k k Z        , 解得 ,4 4k x k k Z        ,显然在区间2   ,上不单调,故 B 错误; C,1cos2y x  ,24 T ,故 C 错误; D,1sin2y x  ,24 T ,故 D 错误;故选:A 3 3.(2021·镇雄县第四中学高一月考)已知函数  12sin2 3f x x      .则函数的单调递减区间是___________. 【答案】54 , 4 ,3 3k k k        Z

 【解析】∵ sinx  的减区间是 2,22 2k k      , ∴12 2 ,2 2 3 2k x k k         Z ,

 得出54 4 ,3 3k x k k       Z , ∴   f x 的递减区间是54 , 4 ,3 3k k k        Z . 故答案为:54 , 4 ,3 3k k k        Z

 4.(2021·上海浦东新·华师大二附中高一期中)已知函数    *πcos4f x x       N在π π,3 2   上不单调,则  的最小值为___________. 【答案】3 【解析】函数*( ) cos( )( )4f x x N     在 ( , )3 2 上不单调, 当函数为单调递增时,即2 24k x k       剟 ,整理得:3 2 24 4k kx         剟 , ( ) kZ , 由于函数在 ( , )3 2 上单调递增时,3 2 2( )4 3 2 4k kx k Z              剟 ,即:2 34 322 4kk       „„, 整理得:当 0 k  时,9 14 2  剟 ;①当函数单调递减时; 2 24k x k      剟 , 整...

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